偏差値は100を超えたりマイナスになったりもする

テストの結果がどれぐらい良いかを判断する際、主に指標として使われるのが「平均点」と「偏差値」の二つです。 学校内の試験なら平均点が使われることが多いですが、全国模試などの大規模な試験では偏差値が使われます。

平均点は読んで字のごとくの指標ですが、偏差値と言われてもイマイチピンときませんよね。 偏差値とは一体なんなのかと言えば、平均点よりも自分の位置が分かりやすい指標って感じですかね。

この偏差値、100を超えたりマイナスになったりすることもあるんですよ。

偏差値とは

平均点が50点のテストであなたの結果が60点だったとします。 平均以上の得点なので順位は良さそうに思えますが、しかし必ずしもそうとは限りません。

テストの点数のバラつきが酷かった場合、少数の低得点者が大きく平均点を下げていた可能性があります。 極端なことを言えば、70点が6人、60点が1人、20点が1人、0点が2人だとしたら、あなたの順位は下から数えた方が早いです。

こんな感じで平均点だけではイマイチ自分の立ち位置がはっきりしません。 大雑把な出来栄えだけ確認するならそれで構わないですが、入試などの規定人数に入れるかどうかを判断する時はちょっと困りますよね。

そんな時に使うのが偏差値という訳です。 ただし偏差値も完全に自分の立ち位置が把握できる完璧な指標という訳ではありません。 データが正規分布(集団内が極端にバラけていない)に近いとそれなりの精度で分かりますが、逆のケースでは大きくブレたりします。

ちなみに上のケースの偏差値は53.4になります。 50を超えていれば平均点よりは上ということですが、55にも届かないところを見るとそう良い点数とは言えないことが分かります。

どうやって偏差値を算出しているかも見ておきましょう。 覚える必要はないと思いますが、こんな感じで出してるんだぐらいに覚えておくと偏差値を実感しやすいかもしれません。

偏差値の計算方法

まずはサンプル集団の偏差値を実際に計算してみましょう。 以下のデータを使ってそれぞれの偏差値を出してみます。

ID得点
A100
B80
C70
D70
E60
F60
G50
H50
I40
J20

各自の得点と平均点の差の平方数を求める

このデータの平均点は60点です。 次に各自の得点から平均点の60を引いた数の平方数(数値同士をかける)を求めます。

ID得点平均との差の平方数
A1001600
B80400
C70100
D70100
E600
F600
G50100
H50100
I40400
J201600
合計4400

標準偏差を求める

標準偏差は平方数の平均値の平方根で求めます。 要は上のデータの右端列を全部足して人数で割ったものを平方根した数ですね。

√(4400/10) = 20.9…なので計算しやすいように標準偏差21としておきます。

点数にバラつきがあると標準偏差が大きくなり、偏差値が変動しにくくなります。

偏差値を求める

偏差値は「50 ± { ( 各自の点数 – 平均点 ) * 10 / 標準偏差 }」で求めます。 平均点より高ければ50に足し、低ければ50から引いてください。

平均点60、標準偏差21で計算すると以下のようになります。

ID得点偏差値
A10069
B8059.5
C7055
D7055
E6050
F6050
G5045
H5045
I4040.5
J2031

以上が偏差値の算出方法です。

完全な正規分布の場合、偏差値40~60の間に全体の68%が、偏差値30~70の間に全体の95%が、偏差値70超と20未満に全体の5%が入ります。 この場合は100人いて偏差値60なら32番目ぐらいであると分かります。

偏差値はデータが多く正規分布に近い場合にはそれなりに自分の位置が分かりますが、そうではないほどにアテにならなくなっていきます。 だから偏差値の上下にあまり一喜一憂せず、参考程度に見ておきましょう。

偏差値の豆知識

偏差値は100を超えたりマイナスになることもある

偏差値は平均点とは違って、100を超えたりマイナスになったりすることもあります。

例えば100人が試験を受けて99人が0点、1人だけ100点を取れば偏差値は150です。 時々テレビで「偏差値120」なんて触れ込みで紹介される学生がいますが、きっと平均点も標準偏差も低いテストで飛びぬけた高得点を取ったんでしょうね。

逆に全員が高得点のテストで0点を取ったら偏差値はマイナスに突入することもあり得ます。 もし偏差値マイナスなんて結果になったら、周りにとんでもなく後れを取っていることになりますね。

偏差値は集団に左右される

頭の良さを示す指標としてよく「偏差値」が用いられますが、偏差値は母集団に大きく左右されます。 成績が正規分布になっている超進学校と教育困難校の場合で考えてみましょう。

両校は全国模試に参加し、超進学校は平均90点・偏差値70、教育困難校は平均30点・偏差値は30だったとします。 両校の実力は大きく乖離していますね。

それではこのテストから学校内のみの偏差値を算出した場合を考えてみましょう。 超進学校では90点でも偏差値は50、教育困難校は30点でも偏差値は50になります。 得点は全然違うのに、どちらの偏差値も50になってしまいましたね。

偏差値は母集団に対してどの程度かを示す指標なので、同じ点数でも母集団が変われば偏差値も変わる訳です。 なので偏差値を広く指標として使う場合は、同じ母集団で実施した結果で比較する必要があります。

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