1%を100回試行して1回でも当たる確率は63.6%

dice

1%の確率で当たるクジがあったとします。 これを100回連続で引いた場合、期待値は1で平均1回当たります。当たり前ですね。

しかし実際にこのクジを沢山の人が回した場合、100回引いても当たらない人がゴロゴロ出てきます。 なぜなら100回引いて全てハズレとなる確率が36.4%あるからです。つまり1回でも当たる確率は63.6%しかありません。

1%を100回試行した結果の考察

gambling

「1%の確率で当たるものを100回引いたのに当たらないのはおかしい」のようなことを言う人を時々見かけます。 まあそう言いたくなる気持ちは分かりますし、発言者も本気でそう考えている訳ではないと思います。 しかし正確な確率まで把握している人は多くありません。なので実際に計算してどれぐらいおかしいことなのか調べてみましょう。

確率1%を100回試行した場合で考えてみましょう。この結果は1回も当たらなかったケースから100回全て当選したケースの101通りがあります。

・1回も当たらない確率
(99/100)^100 = 約36.6%

・1回だけ当たる確率
(1/100)^1 * (99/100)^99 * (100 C 1)=約37.0%

・2回以上当たる確率
100 – (36.6 + 37.0) = 約26.4%

・100回全て当たる確率
(1/100)^100 = 0を199個書いた後に1%

そんな訳で結果ごとに分けた場合、1回も当たらない確率と1回当たった確率がほぼ同じで36~37%、2回以上当たる確率は全てひっくるめても26.4%という結果となります。 つまり当選回数ごとに考えた場合、1%を100回引いたのに1度も当たらなかったのは、確率的に最も妥当な結果の1つということができます。

だから当たらなくてもある意味で当たり前ということもできますね。 まあ1回以上当たる確率は63.4%あるから、運が悪いと言えば悪いのですが・・・
ただ63.4%は全幅の信頼を置けるような確率ではないことは理解できると思います。

なお200回引けば1回以上当たる確率は87%、300回引けば1回以上当たる確率は95%となります。 95%ぐらいならようやく信用できるかもといった感じですね。

陥りがちな確率の罠

roulette

ルーレットは数字の他に色を持っており、1/2の確率で赤か黒になります。 そこでA君は必勝法を思いつきました。

ルーレットが5回続けて同じ色を出す確率は1/16しかありません。 つまりは「4回続けて同じ色を出したルーレットを見つけて、その次に逆に張れば15/16の確率で勝てる」と考えます。

A君が根気よく観察した結果、4回続けて赤を出したルーレットを見つけました。 そこでA君は全財産を黒に賭けます。さて問題、A君はこの勝負にどれぐらいの確率で勝てるしょうか?

答えは「1/2」です。もしかしたら勝てるかもしれないですし、負けるかもしれません。 これを15/16だと考えた人は確率の罠に陥っています。

確かにルーレットが5回続けて同じ色を出す確率は15/16です。 しかしそれは1度も回していない地点から見ての話であり、1回のみの勝負を切り取ればどこも1/2です。

つまり15/16で当てるには、5回続けて同じ色に張らなければならないという訳です。 いくら4回続けて同じ色を出したルーレットを探しても、そこから勝負したら確率は1/2でしかありません。

それを踏まえてもう一つ例え話をしましょう。
A君は1%の確率で当選するガチャから当たりを引きたいと考えています。つまり100回引けば63.4%、200回で87%、300回で95%当たります。

A君はこれまでに200回引きましたが、残念ながら当てることができませんでした。 しかし「もう100回引けば95%当たる、もう100回だけ引こう」と考えました。

さて問題、A君はどれぐらいの確率で当選できるでしょうか?

答えは「63.4%」です。 今まで200回外していることはこれからの確率に何ら関わりありませんので、95%当てるには今から300回の試行が必要になります。 しかしA君がやろうとしているのは100回の試行でしかなく、断じて95%ではありません。

ただし最後の100回を外した結果「95%の勝負に負けた」と考えるのは間違いとは言い切れません。 合計300回引いている訳ですからね。

この辺は分かっているつもりでも混乱しがちな所で、特に勝負に熱くなっていると見えなくなります。 ギャンブル然りガチャ然り気をつけましょうね。

なおソシャゲやパチスロの場合、外れた分が期待値に上乗せになる仕様になっていることもあります。 そうなると尚更意欲をそそられますが、これを繰り返せば立派な依存症患者になってしまうのでほどほどにしておきましょう。

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